Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

Расстояния от точки $M$ , расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 4 и 3. Через точку $M$ проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 32. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри угла.

(МИОО 2013)

Пусть $A$ — вершина угла, $B$ и $C$ — точки пересечения прямой со сторонами угла, $Y$ — проекция $M$ на $AB$ , $X$ — проекция $M$ на $AC$ .

$∠CAB = ∠M YB = ∠CXM = 90∘ ⇒ AY M X$ — прямоугольник $⇒ AY = M X = 4$ , $AX = M Y = 3$ . Обозначим $BY = x$ .

$BA ∥ M X ⇒ ∠ABC = ∠XM C ⇒ △Y BM ∼ △XM C$ по двум углам. Запишем подобие

$YB Y-M-$ = $XM XC--$ ⇒ XC = $XM ⋅Y M ---YB----$ = $12 x-$

Тогда по условию

$pict$

$PIC$

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки