Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №11

Просмотров 5 Комментарии 0

В прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$ и катетами $AC = 6$ и $BC = 8$ вписана прямоугольная трапеция $M N KB$ так, что $M N = CK$ , точки $N$ и $K$ лежат на катетах $AC$ и $BC$ соответственно, а меньшее основание параллельно гипотенузе. Найдите площадь трапеции.

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Заметим, что из условия следует, что основаниями трапеции будут $N K$ и $M B$ . Если меньшее основание трапеции параллельно гипотенузе, то и большее ей параллельно, следовательно, и $N K ∥ AB$ , и $M B ∥ AB$ . Так как $M B$ и $AB$ имеют общую точку $B$ , то $M$ лежит на $AB$ . Следовательно, отсюда однозначно определятся, как трапеция вписана в треугольник.

По теореме Пифагора гипотенуза $AB = 10$ . Заметим, что $∠CAB = ∠CN K$ как соответственные при $N K ∥ AB$ и $AC$ секущей. Значит, прямоугольные треугольники $CN K$ и $AN M$ равны по катету и острому углу. Следовательно, $AN = N K$ . Введем обозначения: $AN = y$ , $CN = x$ , $CK = z$ . Проведем $KH ⊥ AB$ .

$PIC$

Тогда $x + y = 6$ . Так как $M H = N K = y$ (так как $M N KH$ прямоугольник), то $AH = x + y = 6$ . Следовательно, $HB = 10 − 6 = 4$ . Также $KB = CB = CK = 8 − z$ . Следовательно, по теореме Пифагора из $△KHB$ :