Задача к ЕГЭ на тему «Подобие треугольников и пропорциональные отрезки» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

В параллелограмме $ABCD$ точка $M$ — середина $BC,$ а точка $K$ — середина $AD.$ Найдите отношение длин отрезков, на которые прямые $AM$ и $CK$ разделили диагональ $BD.$

Пусть $O$ — точка пересечения $AM$ и $BD,$ а $Q$ — точка пересечения $CK$ и $BD.$

Так как у параллелограмма противоположные стороны равны, то $AK =KD = BM = MC.$ Рассмотрим четырехугольник $AMCK.$ В нем противолежащие стороны $AK$ и $MC$ параллельны и равны, следовательно, это параллелограмм и $AM ∥KC.$

$PIC$

Далее, $OM ∥QC$ и $BM = MC,$ следовательно, по теореме Фалеса $BO = OQ.$

Кроме того, $KQ ∥AO$ и $AK =KD,$ следовательно, по теореме Фалеса $OQ = QD.$

Получили, что $BO = OQ = QD.$

Подобие треугольников и пропорциональные отрезки