Задача к ЕГЭ на тему «Площадь многоугольника: различные формулы» №17

Просмотров 5 Комментарии 0

Площадь параллелограмма $ABCD$ равна $50.$ Найдите площадь выпуклого четырехугольника $A′B′C′D′,$ вершины которого — середины сторон параллелограмма $ABCD.$

$PIC$

Рассмотрим рисунок. Проведем диагонали $AC$ и $BD.$ Так как $A′, B′$ — середины $AB$ и $BC,$ то $A′B′$ — средняя линия треугольника $ABC.$ Следовательно, $A′B′ = 0,5AC.$ Аналогично $C′D′ = 0,5AC,$ $A′D ′ = B′C′ = 0,5BD.$ Следовательно, $A ′B ′C′D′$ — параллелограмм по признаку.

Так как площадь параллелограмма равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними, то

SABCD = 0,5⋅AC ⋅BD ⋅sin∠AOB

Так как площадь параллелограмма также можно искать как произведение смежных сторон на синус угла между ними, то

′ ′′ ′ ′ ′ ′′ ′ ′ ′ SA BC D = A D ⋅A B ⋅sin ∠B A D

Заметим, что $∠AOB = ∠B ′A′D′$ как углы с попарно параллельными сторонами. Следовательно,

SA′B′C′D′ = 0,5BD ⋅0,5AC ⋅sin∠AOB =0,5SABCD = 0,5⋅50= 25

Площадь многоугольника: различные формулы