Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №9

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $BM$ .

а) Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник $ABM$ , быть в два раза меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник $ABC$ ?

б) Окружности, вписанные в треугольник $ABM$ и $CBM$ , касаются медианы $BM$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите расстояние между точками $P$ и $K$ , если известно, что $AB = 17$ , $BC = 7$ и $√ ---- AC = 177$ .

(Задача от подписчиков.)

а) Предположим, что радиус окружности, вписанной в $△ABC$ , в два раза больше радиуса окружности, вписанной в $△ABM$ . Обозначим радиус окружности, вписанной в $△ABC$ , за $r$ , тогда радиус окружности, вписанной в $△ABM$ , равен $0, 5r$ .
Тогда

AB + BC + AC AB + BM + 0,5AC S△ABC = -----------------⋅ r, S△ABM = -------------------- ⋅ 0,5r. 2 2

Т.к. медиана делит треугольник на два равновеликих, то $S △ABC = 2S △ABM$ , следовательно:

AB--+-BC--+--AC-- AB--+-BM---+-0,5AC-- 2 ⋅r = 2⋅ 2 ⋅0,5r ⇔ BM = BC+0, 5AC ⇔ BM = BC+CM

Получили, что в $△CBM$ одна сторона равна сумме двух других, что противоречит основному неравенству треугольника (каждая сторона меньше суммы двух других). Следовательно, ответ: нет.

$PIC$

б) Пусть $N, R$ – точки касания окружности, вписанной в $△CBM$ , со сторонами $BC$ и $CM$ соответственно. $L, T$ – точки касания окружности, вписанной в $△ABM$ , со сторонами $AB$ и $AM$ соответственно.

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $BN = BK = a$ , $CN = CR = b$ , $M P = M T = c$ , $AT = AL = d$ . Если обозначить $P K = x$ , то также имеем: $M R = M K = c + x$ , $BL = BP = a + x$ .

Тогда можно записать следующую систему:

( | a + b = 7 ||{ a + d + x = 17√ ---- || 2(b + c + x ) = 177 |( √ ---- 2(c + d) = 177

Вычитая из второго уравнения первое, получим $d − b + x = 10$ . Вычитая из третьего уравнения четвертое, получим $b − d + x = 0$ . Складывая полученные уравнения, находим, что $2x = 10$ , следовательно, $x = 5$ .