Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №8

Просмотров 8 Комментарии 0

Диагональ $BD$ делит пятиугольник $ABCDE$ на ромб $ABDE$ и равносторонний треугольник $BCD$ .

а) Найдите угол $ACE$ .

б) Если $O$ – точка пересечения диагоналей $AC$ и $BE$ , $√ -- CE = 6 2$ , найдите площадь треугольника $COE$ .

а) Обозначим за $2α$ угол $∠E$ ромба.

$PIC$

Тогда $∘ ∠BDE = 180 − 2 α$ , следовательно, т.к. углы правильного треугольника равны по $60∘$ ,

∠CDE = 180∘ − 2α + 60∘ = 240 ∘ − 2α.

Заметим, что $△CDE$ равнобедренный, следовательно,

180 ∘ − ∠CDE ∠DCE = --------------- = α − 30∘. 2

Рассуждая аналогично, получим:

$∠ABC = 60∘ + 2 α$ , следовательно, $∠BCA = 60∘ − α$ .

Таким образом,

∘ ∘ ∠ACE = 60 − ∠DCE − ∠BCA = 30 .

б) Заметим, что в ромбе диагонали являются биссектрисами углов, следовательно,

∠OEC = α − ∠CED = α − ∠DCE = α − (α − 30∘) = 30∘.

$PIC$

Таким образом, $△COE$ равнобедренный ( $CO = OE$ ). Проведем высоту $OH$ ; она будет и медианой, то есть $√ -- CH = 1CE = 3 2 2$ . Тогда из прямоугольного $△OCH$

∘ OH OH √ -- tg30 = ---- = --√-- ⇒ OH = 6. CH 3 2

Следовательно,

1 √ -- S △COE = --⋅ OH ⋅ CE = 6 3. 2

Планиметрия