Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №7

Просмотров 5 Комментарии 0

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ ( $AD ∥ BC$ ) взаимно перпендикулярны, длина средней линии трапеции равна $m$ . На большем основании $AD$ взята точка $M$ так, что $AM = m$ . Найдите длину отрезка $M C$ .

Пусть $BC = 2a$ , $AD = 2b$ . Тогда $m = a + b$ . Тогда $M D = AD − AM = 2b − a − b = b − a$ . Соединим середины оснований и получим отрезок $N K$ . По свойству трапеции этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей. Тогда $KM = AM − AK = a + b − b = a$ . Следовательно, $KN CM$ – параллелограмм (две стороны $KM$ и $N C$ равны $a$ и параллельны). Таким образом, $N K = CM$ . Значит, найдем $N K$ .

$PIC$

$ON$ и $OK$ – медианы в прямоугольных треугольниках $BOC$ и $AOD$ соответственно, проведенные к гипотенузе. Следовательно, каждая из них равна половине гипотенузы, то есть $ON = a$ , $OK = b$ . Тогда $N K = a + b = m$ . Следовательно, и $CM = m$ .