Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №6

Две хорды окружности $AC$ и $BD$ взаимно перпендикулярны.

а) Найдите отрезок, соединяющий середины хорд $AC$ и $BD$ , если отрезок, соединяющий точку их пересечения с центром окружности, равен $3$ .

б) При условиях пункта а) найдите $AD$ , если $AD > BC » class=»math» width=»auto»>, <img decoding=$ и отрезок, соединяющий середины хорд $AB$ и $CD$ , равен $5$ .

а) Пусть $O$ – центр окружности, $Q$ – точка пересечения хорд $AC$ и $BD$ . Пусть также $M$ и $N$ – середины этих хорд. Тогда $OM$ и $ON$ – перпендикуляры к этим хордам.

$PIC$

Действительно, $△AOC$ – равнобедренный ( $OA = OC$ – радиусы), поэтому медиана $OM$ в нем является и высотой. Аналогично доказывается, что $ON ⊥ BD$ .

Таким образом, в четырехугольнике $OM QN$ три угла – прямые ( $∘ ∠M = ∠Q = ∠N = 90$ ), следовательно, этот четырехугольник по признаку является прямоугольником. Т.к. в прямоугольнике диагонали равны, то $M N = OQ = 3$ .

б) Докажем, что $ABCD$ – равнобедренная трапеция.
Т.к. $AC = BD$ , то $∠ADC = ∠BAD = α$ как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. $∠BAC = ∠BDC = β$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду $BC$ . Таким образом, $∠CAD = ∠BDA = α − β$ . Следовательно, равны и хорды $AB$ и $CD$ .
Также можно сказать, что $∠CAD = ∠BCA$ как вписанные углы, опирающиеся на равные хорды. Следовательно, это накрест лежащие углы при $AD$ и $BC$ и $AC$ – секущей. Значит, по признаку прямые $AD ∥ BC$ . Таким образом, $ABCD$ – трапеция. А т.к. $AB = CD$ , то она равнобедренная.

$PIC$

Пусть $E$ и $T$ – середины хорд $AB$ и $CD$ соответственно, то есть $ET = 5$ . Тогда $ET$ – средняя линия трапеции, следовательно, $ET ∥ AD ∥ BC$ . Тогда по теореме Фалеса прямая $ET$ пересечет отрезки $AC$ и $BD$ также в серединах, следовательно, $M N ⊂ ET$ .

Обозначим $AD = x, BC = y$ . Тогда $ET = 12 (x + y)$ . $EM$ – средняя линия в $△BAC$ , следовательно, $EM = 1y 2$ . Аналогично $N T = 1y 2$ как средняя линия в $△BDC$ . Тогда $M N = ET − EM − N T = 1(x − y) 2$ . Таким образом, имеем систему из двух уравнений:

{ 1 2 (x + y) = 5 1(x − y) = 3 2

Откуда находим, что $x = AD = 8$ .