Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №4

Радиус окружности, вписанной в неравносторонний треугольник $ABC$ , равен $r$ , а длины его сторон – целые числа, образующие арифметическую прогрессию.

а) Докажите, что $1- r ⁄= 2$ .

б) Найдите наименьшее возможное значение периметра треугольника $ABC$ , если $r = 1$ .

а) Так как стороны треугольника $ABC$ образуют арифметическую прогрессию, то их длины можно представить в виде $a$ , $a + d$ , $a + 2d$ , где $d > 0 » class=»math» width=»auto»> – натуральное. </p> <p class=$ Используя формулу Герона, можно получить равенство

∘ ----------------------------------- p ⋅ r = S△ABC = p(p − a)(p − (a + d))(p − (a + 2d)),

где $3a + 3d p = -------- 2$ – полупериметр, откуда

2 2 2 2 12(a + d) ⋅ r = (a + 3d)(a + d)(a − d) ⇒ 12 ⋅ r = (a + 3d)(a − d) = a + 2ad − 3d ,

то есть $a2 + 2ad − 3(d2 + 4r2) = 0$ , откуда

√ ----------- a = − d ± 4d2 + 12r2,

но при учёте $a > 0 » class=»math» width=»auto»>, получим <img decoding=$ .

$PIC$

Пусть $1 r = -- 2$ , тогда $√ -------- a = 4d2 + 3 − d$ , откуда $√ -------- 4d2 + 3$ – целое (следовательно, натуральное, ведь $2 4d > 0 » class=»math» width=»auto»>) число, то есть <img decoding=$ , где $k$ – натуральное.

$2 2 4d + 3 = k$ , откуда

3 = (k − 2d)(k + 2d),

то есть $k + 2d$ – натуральный делитель числа $3$ при том, что $k$ и $d$ натуральные, откуда $k = d = 1$ , но тогда

(k − 2d)(k + 2d) = − 3 ⁄= 3.

Полученное противоречие завершает доказательство.

б) Так как $r = 1$ , то $√--------- a = 4d2 + 12 − d$ , откуда $√ --------- 4d2 + 12$ – целое (следовательно, натуральное) число, то есть $√ --------- 4d2 + 12 = k$ , где $k$ – натуральное.

$4d2 + 12 = k2$ , откуда

12 = (k − 2d)(k + 2d).

Так как $k$ и $d$ натуральные, то $k − 2d$ целое, а $k + 2d$ – натуральное, следовательно, число $k − 2d$ – целое положительное (иначе его произведение с $k + 2d$ отрицательно, но $12 > 0 » class=»math» width=»auto»>), то есть натуральное число. </p> <p class=$

k + 2d − (k − 2d) = 4d

– делится на $4$ . Среди всевозможных пар натуральных чисел, в произведнии дающих $12$ , только пара ${6; 2}$ подходит под последнее условие, следовательно, $d = 1$ , $k = 4$ , что подходит, тогда $a = 3$ .

При этом у треугольника с длинами сторон $3$ , $4$ и $5$ площадь равна $6$ , следовательно, $r = 1$ – подходит под условие, тогда периметр $ABC$ равен $12$ .