Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №3

Серединные перпендикуляры к сторонам $AB$ и $CD$ четырёхугольника $ABCD$ пересекаются на стороне $AD$ , при этом $∠A = ∠D$ .

а) Докажите, что основание биссектрисы угла $∠ADB$ делит сторону $AB$ в таком же отношении, что и основание биссектрисы угла $∠CAD$ делит сторону $CD$ .

б) Пусть $∠ADB = α$ , $∠CAD = β$ , $ρ(P ;QR )$ означает расстояние от точки $P$ , до прямой, содержащей $QR$ . Найдите $ρ(B;AD--)- ρ(C;AD )$ .

а) Пусть $M$ и $N$ – середины $AB$ и $CD$ соответственно, $K$ – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам $AB$ и $CD$ .

Из точки $A$ на прямую, содержащую $CD$ , опустим перпендикуляр $AC ′$ . Из точки $D$ на прямую, содержащую $AB$ , опустим перпендикуляр $′ DB$ .

Так как $∠A = ∠D$ , то треугольники $′ AB D$ и $′ AC D$ равны по гипотенузе и острому углу, откуда $C ′D = AB ′$ . Обозначим $C ′D = h$ . Возможны 2 случая:

1) отрезок $BC$ пересекает $B ′C ′$ ,

2) отрезок $BC$ не пересекает $B ′C ′$ .

1) Пусть $′ BB = a$ , $′ CC = b$ и $′ AB > AB » class=»math» width=»auto»>, тогда <img decoding=$ .
$AB = h − a$ , $CD = h + b$ , откуда

h −-a- h-+-b AM = 2 , DN = 2 .

Треугольники $AM K$ и $AB ′D$ подобны по двум углам, откуда

h-−-a- AK-- h-−-a- 2h = AD ⇒ AK = 2h AD.

Аналогично из подобия треугольников $KN D$ и $AC ′D$ получаем $DK = h-+-b AD 2h$ .

Так как $AK + KD = AD$ , то

AD = h −-aAD + h-+-bAD, 2h 2h

откуда

− a + b = 0 ⇒ a = b.

$PIC$

Так как треугольники $′ AB D$ и $′ AC D$ равны (по гипотенузе и острому углу), то $′ ′ B D = A C$ . Так как $′ ′ BB = CC$ , то прямоугольные треугольники $′ BB D$ и $′ ACC$ равны (по двум катетам), следовательно, $AC = BD$ .

2) Аналогично первому случаю, только в итоге получим

h − a h − b AD = -----AD + -----AD 2h 2h

или

h + a h + b AD = -----AD + -----AD. 2h 2h

В обоих этих случаях будет $a + b = 0$ , откуда в силу $a ≥ 0$ , $b ≥ 0$ получим, что $a = b = 0$ , но $BD ′ = AC ′$ (так как треугольники $AB ′D$ и $AC ′D$ равны).

В итоге $AC = BD$ , тогда из теоремы о биссектрисе (биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам) получаем нужное равенство.