Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

Внутри треугольника $M N K$ взята некоторая точка $O$ , из которой опущены перпендикуляры $OM ′$ , $ON ′$ и $OK ′$ на стороны $N K$ , $M K$ и $M N$ соответственно.

а) Пусть также $∠N ′K ′M ′ = ∠N KM$ , $∠M ′N ′K ′ = ∠M N K$ . Докажите, что радиусы окружностей, описанных около треугольников $′ ′ M N K$ , $′ ′ M N K$ и $′ ′ M N K$ равны.

б) Найдите $′2 ′2 ′ 2 M K + N M + N K$ , если известно, что $′ K N = a1$ , $′ M K = a2$ , $′ M N = a3$ .

а) Из равенств $∠N ′K ′M ′ = ∠N KM$ , $∠M ′N ′K ′ = ∠M N K$ следует равенство $∠N ′M ′K ′ = ∠N M K$ .

$PIC$

Согласно теореме синусов удвоенный радиус окружности, описанной около треугольника $′ ′ M N K$ , равен

′ ′ ′ ′ ---N--M------ ---N--M------ sin ∠N ′KM ′ = sin ∠N ′K ′M ′ = 2R

(где $R$ – радиус описанной около $′ ′ ′ M N K$ окружности).

Аналогично радиусы окружностей, описанных около треугольников $′ ′ M N K$ и $′ ′ M N K$ равны $R$ , что и требовалось доказать.

б) Построим $OM$ , $ON$ , $OK$ .

M K ′2 + K ′O2 = OM 2 = a 2 + ON ′2, 3 M ′N 2 + M ′O2 = ON 2 = a12 + OK ′2, ′ 2 ′ 2 2 2 ′2 N K + N O = OK = a2 + OM .

В итоге

M K ′2 + K ′O2 + M ′N 2 + M ′O2 + N ′K2 + N ′O2 = a32 + ON ′2 + a12 + OK ′2 + a22 + OM ′2,

откуда

′2 ′ 2 ′ 2 2 2 2 M K + M N + N K = a3 + a1 + a2 .

Планиметрия