Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №10

Просмотров 6 Комментарии 0

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен $2∕5$ . В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите сторону ромба.

(ФЦТ 2013)

Пусть $ABC$ — данный треугольник, $AB = 10$ , $AC = 8$ , $cos∠CAB = 2∕5$ . Тогда по теореме косинусов

∘ ---2-----2-------------------- BC = AB +AC − 2AB ⋅AC cos∠CAB = 10

Значит, данный треугольник равнобедренный с основанием $AC$ . Возможны два случая: ромб вписан в угол при основании, либо в угол $B$ .

I случай

$PIC$

В ромбе $AE = ED = DF = FA ⇒ △AED = △AF D$ по трем сторонам $⇒ ∠DAE = ∠F AD ⇒ AD$ — биссектриса угла $CAB ⇒ CDDB- = CBAA-= 45 ⇒ CD = 490$ .

В ромбе $AE ∥ FD ⇒ ∠CAB = ∠CF D$ , при этом $∠CAB = ∠BCA$ , т.к. треугольник равнобедренный.

Получили $∠CF D = ∠BCA ⇒ △F DC$ — равнобедренный и сторона ромба $40- F D = DC = 9$ .

II случай

$PIC$

В ромбе $BE = BD = DF = FE$ , $EB ∥ DF ⇒ AB ∥ DF ⇒ ∠CAB = ∠CF D$ , при этом $∠CAB = ∠BCA$ , т.к. треугольник равнобедренный. Получили $∠CF D = ∠BCA ⇒ △F DC$ — равнобедренный и сторона ромба $F D = DC = BD = 1BC = 5 2$ .