Задача к ЕГЭ на тему «Планиметрия» №1

Просмотров 6 Комментарии 0

Основания трапеции равны $a$ и $b$ . Диагонали трапеции пересекаются в точке $O$ под прямым углом. Одна из диагоналей делится точкой $O$ на отрезки с длинами $c1$ и $d1$ , а другая – на отрезки с длинами $c2$ и $d2$ .

а) Докажите, что величина

c d + c d -1-1---2-2- 2

равна площади прямоугольного треугольника с катетами $a$ и $b$ .

б) Найдите площадь данной трапеции, если $ab = 100$ , а $c2$ , $d1$ и $d2$ удовлетворяют уравнению

c + d c 2d + c d 2 100 ⋅-2----2 − -2--2----2-2-+ d1(c2 + d2) − 500 = 0. d1 d1

$PIC$

а) Пусть $ABCD$ – данная трапеция, $BC = a$ , $AD = b$ .

Рассмотрим треугольники $BOC$ и $AOD$ : $∠CBD = ∠BDA$ (как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых $BC$ , $AD$ и секущей $BD$ ).

Аналогично $∠BCA = ∠CAD$ , следовательно, треугольники $BOC$ и $AOD$ подобны по двум углам, откуда

a d d --= -2-= -1. b c2 c1

$a- d2 = b ⋅ c2$ , $a- d1 = b ⋅ c1$ , тогда

a a a c1d1 + c2d2 = --⋅ c12 +--⋅ c22 =-(c12 + c22), b b b

но треугольник $AOD$ – прямоугольный ( $∠AOD = 90 ∘$ ), следовательно, $b2 = c12 + c22$ , откуда

a- 2 2 c1d1-+-c2d2 ab- c1d1 + c2d2 = b(c1 + c2) = ab ⇒ 2 = 2 ,

что и требовалось доказать.

б) Площадь четырёхугольника равна полупроизведению его диагоналей на синус угла между ними, откуда

SABCD = (c1 + d1)(c2 + d2).

Так как $c1d1 + c2d2 = ab = 100$ , то $100-−-c2d2- c1 = d1$ , откуда

( ) 2 2 SABCD = 100 −-c2d2+ d1 (c2 + d2) = 100 ⋅ c2-+-d2 − c2-d2-+-c2d2 + d1(c2 + d2). d1 d1 d1

Но по условию

c2-+-d2 c22d2-+-c2d22 100 ⋅ d − d + d1(c2 + d2) − 500 = 0, 1 1

тогда

c + d c 2d + c d 2 100 ⋅-2----2 − -2--2----2-2-+ d1(c2 + d2) = 500, d1 d1

следовательно, $SABCD = 500$ .

Планиметрия