Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

$EABCD$ – пирамида, $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90∘$ , $AD = DC = a$ , проекция точки $E$ на плоскость $ABC$ – середина $AC$ . Длина отрезка, соединяющего точку $E$ и середину $BD$ , равна $√- 0,5a 3$ , площадь полной поверхности пирамиды равна $2,4$ . Найдите $DE$ .

Так как $∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = 90∘$ , то $∠DAB = 360∘ − 3 ⋅90∘ = 90∘$ , тогда $ABCD$ – прямоугольник, но $AD = DC$ , следовательно, $ABCD$ – квадрат.

Обозначим отрезок, соединяющий точку $E$ и середину $BD$ через $h$ .

$PIC$

Так как $ABCD$ – квадрат, то $h$ соединяет точку $E$ с серединой $AC$ , то есть проекцией точки $E$ на $(ABC )$ , откуда заключаем, что $h$ перпендикулярен $(ABC )$ . Через $hгр$ обозначим перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на $DC$ .

Пирамида $ABCDE$ является правильной по определению. Тогда её грани равные равнобедренные треугольники и площадь её полной поверхности равна $2 2 a + 4⋅SEDC = a + 2⋅a ⋅hгр$ .