Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №7

Просмотров 6 Комментарии 0

$EABCD$ – пирамида, $ABCD$ – прямоугольник со сторонами $√ -- 3 + 3 5$ и $√---- √---- 114 + 570$ . Из точки $E$ опущен перпендикуляр $√ --- EM = 55$ на плоскость $(ABCD )$ , причём точка $M$ попала на $AC$ так, что $-- AM : M C = 1 : √ 5$ . Пусть $S$ – площадь поверхности пирамиды $ABCDE$ . Найдите $S √ ---- √ -- ----√---− 114 (12 + 3 5) 1 + 5$ .

$PIC$

Пусть $√ -- AD = 3 + 3 5$ . Рассмотрим прямоугольник $ABCD$

$PIC$

Достроим отрезки $N T$ и $P K$ , проходящие через точку $M$ , как показано на рисунке ( $N T ∥ BC$ , $P K ∥ AB$ ).

Тогда $M N = 3$ , $√ -- M T = 3 5$ , $√ ---- M P = 114$ , $√---- M K = 570$ . $M N$ – проекция $N E$ на $(ABCD )$ , $M N$ перпендикулярен $AB$ , тогда по теореме о трех перпендикулярах $N E$ перпендикулярен $AB$ . По теореме Пифагора $N E = 8$ . Площадь треугольника $ABE$ равна

1 √ ---- √-- --⋅ AB ⋅ N E = 4 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5 ). 2

Аналогично площадь треугольника $BEC$ равна $√ -- 37,5(1 + 5)$ ,
площадь треугольника $CDE$ равна $√---- √ -- 5 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5)$ ,
площадь треугольника $AED$ равна $√ -- 19,5(1 + 5)$ ,
площадь прямоугольника $ABCD$ равна $√---- √-- 3 114 (1 + 5 )2$ .
Площадь поверхности пирамиды:

√ ---- √ -- √ -- √ ---- √ -- S = 9 ⋅ 114 ⋅ (1 + 5) + 57(1 + 5) + 3 114 (1 + 5)2.

Тогда $---S√---− √114-(12 + 3√5--) = 57 1 + 5$ .