Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №5

Просмотров 11 Комментарии 0

В основании пирамиды $SABC$ лежит прямоугольный треугольник с прямым углом $∠A$ . Точка $H$ – центр описанной вокруг треугольника $△ABC$ окружности, $SH$ – высота пирамиды. Найдите объем пирамиды, если известно, что $AB = 6$ , $AC = 8$ , $√- SA = 5 5$ .

$PIC$

Центр описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности лежит на гипотенузе и делит ее пополам $⇒$ $BH = AH = CH$ – радиусы описанной окружности. В прямоугольном треугольнике $△BAC$ по теореме Пифагора: $BC2 = AB2 + AC2 = 62+ 82 = 100$ $⇒$ $BC = 10$ $⇒$ $AH = BC-= 10= 5 2 2$ . Треугольник $△AHS$ – прямоугольный, т.к. $SH ⊥ ABC$ ( $SH$ – высота), тогда по теореме Пифагора можно найти $SH$ : $SH2 = AS2 − AH2 = (5√5-)2 − 52 =100$ $⇒$ $SH =10$ . Теперь найдем объем пирамиды:

Vпир. = 1 ⋅SH ⋅S △BAC = 1⋅SH ⋅ 1 ⋅AB ⋅AC = 1 ⋅10 ⋅ 1⋅6⋅8 =80. 3 3 2 3 2