Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №4

Просмотров 9 Комментарии 0

В основании пирамиды $SABCD$ лежит равнобедренная трапеция с основаниями $AD$ и $BC$ . $H$ – точка пересечения диагоналей трапеции, а $SH$ – высота пирамиды. Диагонали трапеции перпендикулярны, $tg∠SAC = 3$ , $BH = 3$ , $AH = 2$ . Найдите объем пирамиды.

$PIC$

$△AHD$ и $△BHC$ – равнобедренные треугольники, т.к. трапеция $ABCD$ равнобедренная $⇒$ $AH = HD$ , $BH = HC$ $⇒$ $AC = BD = 2 + 3 = 5$ $⇒$

1 1 1 1 SABCD = SABC + SADC = 2-⋅ AC ⋅ BH + 2-⋅ AC ⋅ HD = 2-⋅ AC ⋅ (BH + HD ) = 2-⋅ AC ⋅ BD.

В $△SAH$ : $SH = AH ⋅ tg∠SAC = 6$ , т.к. $△SAH$ – прямоугольный. Тогда объем пирамиды можно найти следующим образом:

V = 1-⋅ S ⋅ SH = 1-⋅ 1-⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 6 = 25 пир. 3 ABCD 3 2

.

Пирамида