Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В пирамиде $SABC$ высота $SO$ падает в точку пересечения медиан основания. Треугольник $ABC$ равнобедренный, боковые стороны равны $10$ , а основание $AC = 18$ . Найдите объем пирамиды, если известно, что угол между боковым ребром $SB$ и плоскостью основания равен $45∘$ .

$PIC$

Пусть $BK$ – высота в $△ABC$ , а значит и медиана. Тогда из прямоугольного $△BKC$ :

√ ------------- √ -------- √ --- BK = BC2 − KC2 = 102 − 92 = 19.

Тогда площадь основания равна

S = 1-⋅ AC ⋅ BK = 9√19.- ABC 2

Так как $O$ – точка пересечения медиан, то $O$ лежит на $BK$ . Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2 : 1$ , считая от вершины, то

2 2√ --- BO = -BK = -- 19. 3 3

Заметим, что угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и ее проекцией на плоскость, следовательно, $∠SBO = 45∘$ и есть угол между $SB$ и основанием (так как $BO$ – проекция $SB$ на плоскость $ABC$ ). Так как к тому же $△SBO$ прямоугольный, то он равнобедренный, следовательно,

2√ --- SO = BO = -- 19. 3

Тогда объем пирамиды равен

V = 1-⋅ SO ⋅ S = 38. 3 ABC