Задача к ЕГЭ на тему «Пирамида» №1

Просмотров 16 Комментарии 0

Дана пирамида $SABCD$ , вершиной которой является точка $S$ , в основании лежит ромб, а высота $SO$ пирамиды падает в точку пересечения диагоналей ромба. Найдите объем пирамиды, если известно, что угол $ASO$ равен углу $SBO$ , а диагонали основания равны $6$ и $24$ .

$PIC$

Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то $AO = 12$ , $BO = 3$ .
Заметим, что так как $SO$ – высота пирамиды, то $△ASO$ и $△BSO$ – прямоугольные. Так как у них есть равные острые углы, то они подобны. Пусть $SO = h$ , тогда из подобия имеем:

BO-- -h-- h = AO ⇒ h = 6.

Так как площадь ромба равна полупроизведению диагоналей, то объем пирамиды равен

1 1 V = --⋅ h ⋅-⋅ 24 ⋅ 6 = 144. 3 2