Задача к ЕГЭ на тему «Параллелепипед как частный случай призмы» №2

Просмотров 5 Комментарии 0

В параллелепипеде $ABCDA1B1C1D1$ все грани представляют из себя ромбы с острым углом $60∘$ . Точки $K$ , $L$ и $M$ принадлежат соответственно ребрам $BB1$ , $CC1$ и $DD1$ , причем $BK :KB1 = 1:3$ , $CL =LC1$ , $DM :MD1 = 3 :1$ . Найдите длину ломаной $AKLMA1$ , если сторона ромба равна $√21 − √13$ .

$PIC$

Для решения задачи воспользуемся вспомогательным чертежом. Изобразим местоположения точек искомой ломаной на ромбе, представляющем грань параллелепипеда, следующим образом:

$PIC$

Тогда становится ясно, что для того, чтобы подсчитать длину ломаной, необходимо найти длины отрезков $AK$ и $MA1$ . Длины этих отрезков можно вычислить по теореме косинусов из соответствующих треугольников, учитывая, что острый угол ромба равен $∘ 60$ , а тупой угол ромба равен соответственно $∘ ∘ ∘ 180 − 60 = 120$ . Используя обозначения на чертеже найдем: $2 2 2 ∘ 2 AK = (4x) + x − 2 ⋅4x⋅x⋅cos120 = 21x$ $⇒$ $√ -- AK = 21x$ ; $2 2 2 ∘ 2 MA 1 = (4x) + x − 2⋅4x⋅x ⋅cos60 = 13x$ $⇒$ $√-- MA1 = 13x$ . Длина ломаной будет тогда равна: $√-- √-- √-- √ -- L = 2AK +2MA1 = 2 21x+ 2 13x =2( 21 + 13)x$ . Так как на чертеже за $4x$ обозначена сторона ромба, то $√-- √-- 4x = 21− 13$ $⇒$ $√21− √13 x= ---4-----$ .
Тогда $√-- √ -- √-- √ -- (√21-− √13-) 2(21 − 13) 2⋅8 L= 2( 21+ 13)x =2( 21 + 13) ----4---- = ---4----= -4-= 4$ .