Задача к ЕГЭ на тему «Параллелепипед как частный случай призмы» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCDA1B1C1D1$ — параллелепипед, точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AA1$ и $BB1$ соответственно. Известно, что объём тела $MNCDAB$ равен 1. Найдите объём $ABCDA1B1C1D1.$

Тело $MNCDAB$ — это призма, так как треугольники $MAD$ и $NBC$ равны по двум сторонам и углу между ними, $(MAD )∥(NBC ).$ Тогда имеем:

VMNCDAB = SMAD ⋅h,

где $h$ — длина перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $(NBC ).$

С другой стороны,

VABCDA1B1C1D1 = SAA1D1D ⋅h

$PIC$

Тогда имеем равенство

VABCDA1B1C1D1- SAA1D1D- VMNCDAB = SMAD

Пусть $h0$ — высота в параллелограмме $AA1D1D,$ проведённая к стороне $AA1,$ тогда

SAA1D1D = AA1 ⋅h0, SMAD = 0,5⋅MA ⋅h0

Так как $MA = 0,5 ⋅AA1,$ то

SAA1D1D AA1 ⋅h0 -SMAD---= 0,5⋅0,5⋅AA1-⋅h0-= 4

Тогда окончательно получим

VABCDA1B1C1D1 = 4⋅VMNCDAB = 4⋅1= 4

Параллелепипед как частный случай призмы