Задача к ЕГЭ на тему «Оценка + пример» №8

Какое наибольшее количество слонов можно поставить на Ванину шахматную доску так, чтобы они не били друг друга, если Ванина доска имеет размеры $10 × 10$ , а каждый слон бьёт любого другого слона при первой же возможности?

Каждый слон простреливает целиком любую диагональ, на которой он находится. Найдём количество попарно параллельных диагоналей на Ваниной доске. Их $19$ . Таким образом, количество слонов не может превышать $19$ (иначе какие-то два слона оказались бы на одной диагонали и били бы друг друга).

Можно ли расставить $19$ слонов так, чтобы условие задачи было выполнено? Заметим, что слон, стоящий на чёрной клетке, ходит только по чёрным клеткам, а слон, стоящий на белой клетке, ходит только по белым клеткам. Если можно расставить $19$ слонов, то найдутся не менее $10$ слонов, стоящих на клетках одного цвета (пусть для примера это будет чёрный цвет). Но тогда можно поставить и $10$ слонов на белые клетки, для этого достаточно вертикально приподнять всех слонов, стоящих на чёрных клетках, затем повернуть под ними доску на $90∘$ (вокруг точки пересечения диагоналей квадратной доски) и опустить слонов.

Если слоны, стоявшие до поворота доски на чёрных клетках, не били друг друга, то и после поворота доски они не будут бить друг друга. При этом слоны, стоящие на чёрных клетках, никак не связаны со слонами, стоящими на белых клетках (“они живут в разных мирах”). Тогда можно поставить на доску не менее $10$ чёрных слонов и не менее $10$ белых слонов так, что все они не будут бить друг друга, но такого быть не может, следовательно, наше предположение неверно и на такой доске можно расставить не более $18$ слонов так, чтобы они не били друг друга.

$18$ слонов можно расставить, например, так: ставим слонов в каждую клетку верхней горизонтали, затем в каждую клетку нижней горизонтали, кроме угловых.