Задача к ЕГЭ на тему «Оценка + пример» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

В прямоугольную таблицу $n × m$ вписали целые числа (здесь $n$ – число строк). При этом оказалось, что сумма чисел в каждом столбце попадает на отрезок $[15; 20]$ , а сумма чисел в каждой строке попадает на отрезок $[22;25]$ . Какое наименьшее значение могло иметь выражение $n- m$ ?

Пусть $ai$ – сумма чисел в $i$ -ой строке ( $i$ пробегает натуральные значения от $1$ до $n$ ). Пусть $bj$ – сумма чисел в $j$ -ом столбце ( $j$ пробегает натуральные значения от $1$ до $m$ ). Пусть также $S$ – сумма всех чисел таблицы.

Тогда, учитывая тот факт, что слагаемые в сумме можно складывать в любом порядке, получим:

a1 + ...+ an = S = b1 + ...+ bm .

Из последнего равенства получаем следующие оценки:

{ 22n ≤ S ≤ 25n , 15m ≤ S ≤ 20m

откуда следует, что существуют $p ∈ [22;25]$ и $q ∈ [15;20]$ такие, что

p ⋅ n = S = q ⋅ m ⇒ n-= q-≥ 15-= 0,6 . m p 25

Пример для $n -- = 0,6 m$ может быть таким: $n = 3$ , $m = 5$ , все числа в таблице равны $5$ :

5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5

Оценка + пример