Задача к ЕГЭ на тему «Оценка + пример» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Имеется 8 кучек камней, причем во всех кучах число камней разное (куча может состоять из любого, не меньшего 1, числа камней). Известно, что любую из куч можно убрать и все камни из нее разложить по другим кучам так, чтобы число камней в них стало одинаковым. Какое наименьшее число камней может быть в самой большой куче?

Пусть $ai$ , где $i = 1...8$ – число камней в каждой куче после того, как кучи упорядочили по возрастанию числа камней в них. То есть $a1 < a2 < ... < a8$ . Тогда $a1 ≥ 1$ (следует из условия), $a2 ≥ 2,..., a8 ≥ 8$ .
Пусть мы взяли первую кучу и раскладываем из нее камни по остальным кучам так, чтобы количество в них стало одинаковым. Тогда, так как во всех кучах разное количество камней, наилучший исход (наименьшее количество камней в 1-ой куче) для нас будет таким: ничего не класть в 8-ую кучу, положить 1 камень в 7-ую, 2 камня в 6-ую, 3 камня в 5-ую, 4 камня в 4-ую, 5 камней в 3-ю и 6 камней во 2-ую. Следовательно, в первой куче должно быть как минимум $1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6$ камней. То есть $a1 ≥ 21$ . Следовательно, $a2 ≥ 22$ и т.д., $a8 ≥ 28$ .
Утверждаем, что наименьшее возможное количество камней в большой куче – 28. Приведем пример: пусть у нас есть 8 куч камней, в которых 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28 камней соответственно.
Разложение 1-ой кучи по остальным мы уже продемонстрировали выше. Аналогично можно проверить, что это условие выполняется для любой другой кучи: после разложения камней в оставшихся семи кучах будет по 28 камней.