Задача к ЕГЭ на тему «Отношение площадей поверхностей и отношение объемов тел» №15

Просмотров 5 Комментарии 0

В правильной четырехугольной пирамиде с высотой $h$ через точку на боковом ребре, лежащую на расстоянии $1h 3$ от плоскости основания, проведена плоскость, параллельная плоскости основания, которая отсекает от пирамиды меньшую пирамиду. Найдите объем полученной меньшей пирамиды, если объем исходной пирамиды равен 54.

$PIC$

Пусть плоскость провели через точку $A ′$ на ребре $AS$ . Так как плоскость параллельна плоскости основания, то она пересечет боковые грани по прямым $A′B′, B ′C′, C ′D ′, D′A′$ , параллельным соответственно $AB, BC, CD, DA$ , причем $SA′B′C′D ′$ – тоже правильная четырехугольная пирамида.

$PIC$

Рассмотрим плоскость $ASO$ . Проведем $A ′H ∥ SO$ ( $SO$ — высота исходной пирамиды). Тогда $A ′H ⊥ ABC$ . Следовательно, это и есть расстояние, равное $1 3SO$ , на котором от плоскости основания проведена (розовая) плоскость.
$′ △AA H ∼ △ASO$ , следовательно,