Задача к ЕГЭ на тему «Остатки» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Докажите, что числа вида $n2$ , где $n ∈ ℕ$ , не могут при делении на 3 давать остаток $2$ .

Остаток от деления на число $k$ произведения натуральных чисел $A ⋅ B$ равен остатку от деления на число $k$ произведения $a ⋅ b$ , где $a$ и $b$ – остатки от деления на $k$ чисел $A$ и $B$ соответственно.

Таким образом, остаток от деления числа

2 (3m + 1) = (3m + 1 ) ⋅ (3m + 1)

на $3$ равен остатку от деления $1 ⋅ 1$ на $3$ , то есть равен $1$ .

Остаток от деления числа

2 (3m + 2) = (3m + 2 ) ⋅ (3m + 2)

на $3$ равен остатку от деления $2 ⋅ 2$ на $3$ , то есть равен $1$ .

Остаток от деления числа

2 2 (3m ) = 9m

на $3$ равен $0$ .

Так как любое натуральное число $n$ всегда можно представить в одном из видов: $3m$ , $3m + 1$ , $3m + 2$ ( $m ∈ ℕ ∪ {0}$ ), то $2 n$ при делении на $3$ не может давать в остатке $2$ .