Задача к ЕГЭ на тему «Основная теорема арифметики (ОТА)» №8

Просмотров 5 Комментарии 0

Известно, что $n ∈ ℕ$ . Может ли число $n(n + 1)$ быть степенью натурального числа (полным квадратом, кубом и т.д.)?

Пусть $n(n + 1 ) = km$ .

Так как числа $n$ и $n + 1$ взаимно просты, то число $n$ само представимо в виде

n = am, a ∈ ℕ

а число $n + 1$ представимо в виде

m n + 1 = b , b ∈ ℕ

Тогда b > a » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-2482-8.svg» width=»auto»> и имеем: </p>
<div class= $1 = (n + 1) − n = bm − am = (b − a)(bm− 1 + bm −2a + ...+ bam −2 + am− 1)$

Отсюда

bm− 1 + bm −2a + ...+ bam −2 + am −1 = 1

что невозможно при условии

Следовательно, наше предположение неверно и не может быть степенью натурального числа.