Задача к ЕГЭ на тему «Основная теорема арифметики (ОТА)» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Может ли у натурального числа быть ровно 3 различных натуральных делителя?

У числа $N$ всегда есть натуральные делители 1 и $N.$ При $N ⁄= 1$ эти делители различны. Также понятно, что $N = 1$ не подходит.

Если у числа $N$ есть делитель $a,$ то у него есть и делитель $b= N :a.$ Чтобы количество делителей у $N$ было нечётным, необходимо, чтобы для некоторого делителя $a$ было выполнено $N :a= a,$ то есть должно быть выполнено $2 N = a .$

Для делимости $N$ только на 1, $N$ и $a$ необходимо и достаточно, чтобы $a$ было простым, то есть разложение $N$ на простые множители должно иметь вид $N = a2.$ Таким образом, например, подходит число $N = 32 = 9.$