Задача к ЕГЭ на тему «Основная теорема арифметики (ОТА)» №4

Просмотров 5 Комментарии 0

При каких натуральных $n$ число $4n2 − 9$ является степенью простого числа (первой, второй, третьей и т.д.)?

4n2 − 9 = (2n − 3)(2n + 3)

Так как $4n2 − 9 = pm$ для некоторого простого $p$ , то все отличные от $1$ делители этого числа тоже должны быть степенями $p$ . Тогда либо

$1)$ $2n − 3 = 1$ , либо

$2)$

{ 2n − 3 = pk k+l 2n + 3 = p

В случае $1)$ имеем: $n = 2$ , тогда $4n2 − 9 = 7 = 71$ – подходит по условию.
В случае $2)$ имеем:

k+l k k l p − p = 6 ⇔ p (p − 1) = 6,

то есть $6 = 2 ⋅ 3$ должно делиться на $pk$ – степень простого числа, что возможно только в случае, когда $k p = 2$ или $k p = 3$ .

При $k p = 2$ имеем: $p = 2$ , $k = 1$ , $n = 2,5$ – не подходит.

При $pk = 3$ имеем: $p = 3$ , $k = 1$ , $n = 3$ , тогда $4n2 − 9 = 27 = 33$ – подходит по условию.

Итого: ответ $n = 2$ , $n = 3$ .

Основная теорема арифметики (ОТА)