Задача к ЕГЭ на тему «Основная теорема арифметики (ОТА)» №3

Просмотров 5 Комментарии 0

Является ли число $2017!$ полным квадратом?

Пусть $N = M2,$ $M ∈ ℕ.$ При этом пусть $N$ делится на простое число $p,$ тогда $M2$ делится на $p.$ Если бы при этом $M$ не делилось на $p,$ то $M$ имело бы разложение на простые множители вида

M =p1a1 ⋅...⋅pkak,

где при любом $i∈ {1,...,k}$ имеем $pi ⁄= p.$ Тогда

M2 = p12a1 ⋅...⋅p 2ak k

— тоже не делилось бы на $p.$

Таким образом, $M$ делится на $p,$ но тогда $M2$ делится на $p2.$ Значит, если квадрат натурального числа делится на данное простое число, то он делится и на квадрат этого простого числа.

Число $2017!$ не может быть полным квадратом, так как оно делится на простое число $2017$ , но не делится на $2 2017 ,$ поскольку в произведении $1 ⋅2 ⋅...⋅2017$ только множитель 2017 делится на 2017.

Основная теорема арифметики (ОТА)