Задача к ЕГЭ на тему «Описанная окружность и вписанный четырехугольник» №2

Просмотров 3 Комментарии 0

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, причем $∠ACD = 90∘$ , $∠ACB = ∠BAD$ , $AD = 2$ , $CD = 65$ . Найдите длину отрезка $BC$ .

1) Так как $∠ACD = 90∘$ , то он опирается на диаметр, то есть $AD$ – диаметр. Следовательно, $∠ABD = 90 ∘$ .

$PIC$

Вписанные углы $∠ACB$ и $∠ADB$ равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу. Следовательно, $△ABD$ – прямоугольный и равнобедренный, то есть $∠BDA = ∠BAD = 45∘$ и $√ -- √ -- AB = BD = AD ÷ 2 = 2$ .
2) По теореме Пифагора из $△ACD$ :

∘ ------- √ ----2------2 36 8 AC = AD − CD = 4 − 25-= 5-

Тогда по теореме косинусов из $△ABC$ :

√ -- AB2 = AC2 + BC2 − 2 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ cos 45∘ ⇒ 2 = 64-+ BC2 − 2 ⋅ 8-⋅ BC ⋅-2- 25 5 2

Решая полученное квадратное уравнение, находим, что $√ -- BC = --2- 5$ или $√ -- BC = 7--2- 5$ .
Заметим, что в $△ABC$ угол $B$ – тупой, следовательно, против него должна лежать большая сторона. Таким образом, число $√ -- 7--2- 5$ не подходит, т.к. $√ -- 7--2- 8- 5 > 5 = AC » class=»math» width=»auto»>.<br class=$ Таким образом, $√ -- 2 BC = ---- 5$ .