Задача к ЕГЭ на тему «Описанная окружность и вписанный четырехугольник» №1

Просмотров 4 Комментарии 0

В окружность вписан четырехугольник $M N KP$ , причем площади треугольников $M N P$ и $M KP$ равны. Докажите, что треугольник $N OK$ – равнобедренный, если $O$ – точка пересечения отрезков $M K$ и $N P$ .

Т.к. $S△MNP = S △MKP$ и эти треугольники имеют общее основание $M P$ , то

1⋅ M P ⋅ N H = 1-⋅ M P ⋅ KH ⇒ N H = KH 2 1 2 2 1 2

$PIC$

Таким образом, точки $N$ и $K$ находятся на одинаковом расстоянии от прямой $M P$ , следовательно, $N K ∥ M P$ . Таким образом, $M N KP$ – трапеция, вписанная в окружность. Так как параллельные прямые отсекают от окружности равные дуги, то меньшие полуокружности дуги $⌣ ⌣ M N = KP$ . Так как равные дуги стягиваются равными хордами, то отрезки $M N$ и $KP$ равны. Следовательно, трапеция $M N KP$ является равнобедренной.
В равнобедренной трапеции $△M OP$ и $△N OK$ являются равнобедренными, чтд.
Действительно, вписанные углы $∠N KM$ и $∠KN P$ равны, так как опираются на равные дуги, следовательно, $△N OK$ – равнобедренный.