Задача к ЕГЭ на тему «Операции над векторами и координатами» №1

Просмотров 5 Комментарии 0

$ABCDEF$ — правильный шестиугольник со стороной длины 4, $O$ — центр описанной около него окружности. Найдите длину вектора $−O→A + −O−→B + −O−→C + −O−→D + −O−→E + −−O→F .$

$PIC$

Опишем около $ABCDEF$ окружность:

$PIC$

Так как равные хорды стягивают равные дуги, то

A⌣B = B⌣C = C⌣D =D⌣E = ⌣EF = ⌣FA

Тогда $⌣ ⌣ AF ED = ABCD,$ следовательно, $AD$ — диаметр и точки $A,$ $O$ и $D$ лежат на одной прямой.

При этом $AO = OD$ как радиусы, тогда $−O→A$ и $−O−→D$ равны по длине и противоположны по направлению. Значит, $−O→A = −−O−→D.$

Аналогично $−−→ −−→ OB = − OE$ и $−−→ −−→ OC = −OF$ , тогда

−O→A +−O−→B +−O−→C + −O−→D +−O−→E + −O−→F = = −−O−→D − −O−→E − −O−→F + −O−→D +−O−→E + −O−→F = ⃗0

Нулевой вектор имеет длину, равную 0.

Операции над векторами и координатами