Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №6

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность вписана в угол $B,$ равный $60∘.$ Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если расстояние между точками касания окружности и сторон угла равно $2√3.$

Обозначим точки касания окружности и сторон угла за $A$ и $C.$ Тогда известно, что $AC = 2√3.$ Пусть также $O$ — центр окружности. То есть необходимо найти $OB.$

$PIC$

$OA$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим треугольник $ABC :$ он равнобедренный ( $AB = BC$ как отрезки касательных, проведенных из одной точки), следовательно,

∠A = ∠C = 0,5 ⋅(180∘− 60∘) =60∘

Таким образом, он равносторонний, следовательно, $√ - AB =AC = 2 3.$

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 30 .$ Тогда из прямоугольного треугольника $ABO :$

√- cos30∘ = BA = 2-3- ⇒ OB = 2√3⋅√2- =4 OB OB 3

Окружность: вписанная в многоугольник или угол