Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №4

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольник вписана окружность радиуса $2,4√3.$ Одна из сторон треугольника равна $13,$ а разность двух других равна $5.$ Найдите большую сторону этого треугольника.

1) Пусть в треугольнике $BC = 13,$ $AC − AB = 5.$ Таким образом, наибольшей стороной будет или $AC,$ или $BC.$

Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $AM = AK = a,$ $BM =BN = b,$ $CN = CK = c$ (где $M, N, K$ — точки касания).

$PIC$

Таким образом, из условия следует, что $b+ c= 13,$ $a+ c− (a+ b) =c − b =5.$ Решая систему из этих двух уравнений, находим, что $b= 4,$ $c= 9.$

2) Заметим, что полупериметр данного треугольника равен $a+ b+ c= a +13,$ а площадь по формуле Герона равна

∘------------------------------------------------------- S = (a+ b+ c)(a+ b+ c− (a+ b))(a+ b+ c− (a +c))(a+ b+ c− (b+ c))= = ∘(a+-b+-c)⋅a⋅b⋅c= 6∘a-(a-+-13)-

Тогда по формуле (площадь равна полупериметру, умноженному на радиус вписанной окружности) имеем:

∘-------- √ - ( 12√-)2 S = (a+ b+ c)⋅r ⇒ 6 a(a+ 13)= (a+ 13)⋅2,4 3 ⇒ 36a = (a +13)⋅ 5- 3 ,

откуда $a= 12.$ Следовательно, $AC =12 +9 = 21> BC. » class=»math» src=»/images/math/answer/answer-713-18.svg» width=»auto»> Значит, большая сторона равна <img decoding=$