Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №24

Просмотров 6 Комментарии 0

Радиус окружности, вписанной в ромб, равен 1,5. Найдите сторону ромба, если один из его углов равен $∘ 30 .$

$PIC$

Проведем из центра $O$ вписанной в ромб окружности радиусы $OK$ и $OL$ к сторонам $BC$ и $AD$ соответственно. Тогда получим отрезок, который является высотой ромба, так как точки $K,$ $O,$ $L$ лежат на одной прямой. Значит, длина $KL$ равна

1,5+ 1,5 = 3

$PIC$

Опустим из вершины ромба $B$ перпендикуляр $BH$ на прямую $AD.$ Прямые $BH ∥KL,$ так как $BH ⊥ AD$ и $KL ⊥AD.$ С учетом $BK ∥HL$ получаем, что $BKLH$ — параллелограмм и

BH = KL = 3

Рассмотрим треугольник $ABH.$ В нём $∠AHB = 90∘$ и катет $BH$ лежит напротив угла в $30∘.$

Тогда сторона ромба равна

AB = -BH---= 2⋅3= 6 sin 30∘

Окружность: вписанная в многоугольник или угол