Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №20

Просмотров 6 Комментарии 0

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен $√3 6-.$ Найдите сторону этого треугольника.

$PIC$

1 способ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть $H$ — точка касания окружности со стороной $AB$ (то есть $OH$ — радиус). Следовательно, $OH ⊥ AB$ (как часть высоты) и $OH = 13CH$ (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины).

$PIC$

Если $AC =2x,$ то $AH = x,$ следовательно, $√ --2---2 √- CH = 4x − x = x 3,$ тогда

√ - √- --3= OH = 1⋅CH = -3x ⇒ x= 1 ⇒ AC = 2x = 1 6 3 3 2

2 способ.
Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $√- -3-2 S = 4 a.$ Тогда по формуле $S =p ⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, имеем:

√ - --3a2 = 3a⋅r ⇒ a = 2√3r = 1 4 2