Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №19

Просмотров 6 Комментарии 0

Сторона правильного треугольника равна $√3.$ Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

$PIC$

1 способ.

Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Так как треугольник правильный, то его биссектрисы также являются высотами и медианами. Пусть $H$ — точка касания окружности со стороной $AB$ (то есть $OH$ — радиус). Следовательно, $OH ⊥ AB$ (как часть высоты) и $OH = 13CH$ (как часть медианы, так как медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины).

$PIC$

Если $√ - AC = 2x = 3,$ то $AH = x,$ следовательно, $√--2---2 √ - CH = 4x − x = x 3,$ тогда

√- OH = 1⋅CH = 1⋅√3-⋅-3-= 0,5 3 3 2

2 способ.

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ равна $√- -3-2 S = 4 a .$ Тогда по формуле $S = p⋅r,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности, имеем:

√- √ - S- -----34-⋅(-3)2---- r = p = 0,5(√3+ √3 + √3) = 0,5