Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №16

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘,$ причем $A, C$ — точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите $AC,$ если радиус этой окружности равен $5√2.$

Пусть $O$ — центр окружности.

$PIC$

$√- OA = 5 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 45 .$ Тогда прямоугольный треугольник $ABO$ является равнобедренным, то есть $√ - AB = OA = 5 2.$ Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $√- BC = AB = 5 2.$ Следовательно, по теореме Пифагора

∘ ---------- √ ----- √ - √- √- AC = AB2+ BC2 = 2AB2 =AB ⋅ 2= 5 2 ⋅ 2= 10