Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №15

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘,$ причем $A, C$ — точки касания окружности со сторонами этого угла. Найдите площадь треугольника $ABC,$ если радиус этой окружности равен $10√2.$

Пусть $O$ — центр окружности.

$PIC$

$√- OA = 10 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 45 .$ Тогда прямоугольный треугольник $ABO$ является равнобедренным, то есть $√ - AB = OA =10 2.$ Т.к. отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны, то $√- BC = AB = 10 2.$ Следовательно, площадь прямоугольного треугольника $ABC$ равна

√ - √- S△ABC = 1 ⋅AB ⋅BC = 1 ⋅10 2⋅10 2 =100. 2 2