Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №14

Просмотров 6 Комментарии 0

Окружность вписана в угол $B,$ равный $90∘.$ Найдите расстояние от вершины угла до центра этой окружности, если радиус этой окружности равен $√2.$

Обозначим одну из точек касания окружности и сторон угла за $A.$ Пусть также $O$ — центр окружности. То есть необходимо найти $OB.$

$PIC$

$√- OA = 2$ — радиус окружности, причем $OA ⊥ BA$ (т.к. $BA$ — касательная, а радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Т.к. окружность вписана в угол, то ее центр лежит на биссектрисе этого угла, то есть $∘ ∠ABO = 45 .$ Тогда прямоугольный треугольник $ABO$ является равнобедренным, то есть $√ - AB = OA = 2.$ По теореме Пифагора:

∘ ------------- OB = ∘OA2--+AB2-= (√2)2 +(√2-)2 = 2