Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: вписанная в многоугольник или угол» №12

Просмотров 6 Комментарии 0

В треугольник $ABC$ вписана окружность с центром в точке $O,$ причем $∠AOB =110∘.$ Найдите $∠C$ треугольника $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Так как центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов треугольника, то $AO,BO$ — биссектрисы углов $A,B$ соответственно. Тогда в треугольнике $ABO$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∠BAO + ∠ABO =180 − 110 = 70

Следовательно, получаем

∘ ∠A + ∠B = 2⋅(∠BAO + ∠ABO ) =140

Значит, искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∘ ∠C = 180 − (∠A + ∠B )= 180 − 140 = 40