Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Из точки $A$ вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен $11∘.$ Первая секущая пересекла окружность в точках $K1$ и $L1,$ вторая — в точках $K2$ и $L2,$ причем $K1L1 = K2L2$ и дуга $⌣ K1L1,$ меньшая полуокружности, равна $95∘.$

Найдите меньшую из дуг, заключенных между данными секущими.

$PIC$

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. угол, образованный двумя такими секущими, равен полуразности дуг, заключенных между ними, то

∠A = 0,5 (α − β )= 11∘ (1)

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то (меньшая полуокружности) дуга $⌣ K2L2= 95∘.$ Вся окружность равна $360∘,$ следовательно,

α + β+ 2⋅95∘ = 360∘ ⇒ α+ β = 170∘ (2)

Решая систему из уравнений $(1)$ и $(2),$ получим, что $β = 74∘.$

Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными