Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

Точки $B$ и $D$ треугольника $QBD$ лежат на окружности с центром в точке $O,$ $C$ — вторая точка пересечения $QD$ с окружностью, $A$ — вторая точка пересечения $QB$ с окружностью. Известно, что $QA = QC,$ дуги $CD$ и $AB$ равны, $∠QBD = 63∘.$ Найдите $∠BQD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Равные дуги стягивают равные хорды: $DC = AB.$ Покажем это.

Построим радиусы $OC$ и $OA.$

$PIC$

Так как дуги $CD$ и $AB$ равны, то их градусные меры совпадают, тогда $∠COD = ∠AOB,$ как центральные углы, опирающиеся на равные дуги. $CO = OD = AO = OB,$ как радиусы, тогда треугольники $AOB$ и $DOC$ равны по двум сторонам и углу между ними, следовательно, $DC =AB.$

$QD = QC + CD = QA + AB,$ тогда треугольник $QBD$ — равнобедренный и $∘ 63 = ∠QBD = ∠QDB,$ значит

∠BQD = 180∘− 63∘− 63∘ = 54∘.

Окружность: углы, образованные хордами, секущими, касательными