Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных» №6

Просмотров 5 Комментарии 0

Луч $PA$ касается окружности в точке $A,$ а луч $P C$ пересекает эту окружность в точках $B$ и $C.$ При этом $PA = 4,$ $P C = 8.$ Найдите $PB.$

$PIC$

По свойству окружности квадрат отрезка касательной равен произведению отрезков секущей:

2 AP =P B ⋅P C

Покажем это. Проведем хорды $AB$ и $AC.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $APB$ и $AP C.$ В них $∠AP C$ — общий. Далее, так как угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, заключённой между ними, то

∠P AB = 0,5 ⌣ AB = ∠ACB

Таким образом, треугольники $AP C$ и $AP B$ подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

AP- P-B PC = AP

Отсюда получаем то, что требовалось:

AP2 =P B ⋅P C

Тогда окончательно имеем:

16= P B⋅8 ⇒ PB = 2

Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных