Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных» №5

Просмотров 5 Комментарии 0

Хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $P,$ причём $AP = 6,$ $PB = 4,$ $P C =3.$ Найдите $PD.$

$PIC$

Произведение отрезков одной из пересекающихся хорд равно произведению отрезков другой. Покажем это. Соединим $AC$ и $BD.$

$PIC$

Рассмотрим треугольники $APC$ и $PBD :$ $∠AP C = ∠BP D$ как вертикальные, $∠ACD$ и $∠ABD$ — вписанные, опирающиеся на одну дугу, следовательно, $∠ACD = ∠ABD.$

Таким образом, треугольники $AP C$ и $P BD$ подобны по двум углам. Из их подобия следует, что

CP-= AP- PB P D

(в подобных треугольниках против равных углов лежат пропорциональные стороны), откуда можно получить $CP ⋅P D =AP ⋅P B.$ В данной задаче имеем: $3 ⋅PD = 6⋅4,$ откуда $P D =8.$

Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных