Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: отрезки хорд, секущих, касательных» №1

Просмотров 8 Комментарии 0

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 90∘,$ $AB = 10,$ $CO$ — медиана. Найдите длину $CO.$

В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы. Покажем это. Опишем около треугольника $ABC$ окружность.

$PIC$

Так как $∠ACB = 90∘$ — вписанный, то он равен половине градусной меры дуги, на которую опирается. Следовательно, градусная мера дуги $AB,$ не содержащей точку $C,$ равна $180∘.$ Значит, $AB$ — диаметр и $O$ — центр описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы и искомый отрезок равен

CO = 0,5AB = 5