Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №8

Просмотров 6 Комментарии 0

Около пятиугольника $ABCDE$ описана окружность, причем $AB =BC = CD = DE,$ $AE = 8√3,$ $∠A =45∘.$ Найдите высоту треугольника $ACE,$ опущенную из вершины угла $C.$

$PIC$

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги $⌣ AB,$ $⌣ BC,$ $⌣ CD,$ $⌣ DE$ равны:

⌣ ⌣ ⌣ ⌣ AB= BC= CD= DE= α

Следовательно, $∠A = 45∘ = 32α,$ откуда $α= 30∘.$

Тогда $∠CAE = 12 ⋅2α = 30∘.$

Заметим, что треугольник $ACE$ — равнобедренный ( $∠A = ∠E = α$ ), следовательно, $CH$ — высота и медиана, то есть $1 √- AH = 2 ⋅AE = 4 3.$ Значит:

tg30∘ = CH- ⇒ CH = 4 AH

Окружность: описанная около многоугольника