Задача к ЕГЭ на тему «Окружность: описанная около многоугольника» №5

Просмотров 6 Комментарии 0

В окружность вписан пятиугольник $ABCDE,$ причем $AB = BC = DE = EA,$ $∠CAE = 75∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Рассмотрим картинку:

$PIC$

Т.к. равные хорды стягивают равные дуги, то меньшие полуокружности дуги $⌣ AB,$ $⌣ BC,$ $⌣ DE,$ $⌣ EA$ равны:

⌣ ⌣ ⌣ ⌣ AB= BC= DE= EA= α

Пусть $⌣ CD= β.$

Следовательно, вписанный угол

∠CAE = 1(α +β) =75∘ (1) 2

Т.к. градусная мера всей окружности равна $360∘,$ то

4α + β = 360∘ (2)

Решая систему из уравнений $(1)$ и $(2),$ получаем, что $α =70∘, β = 80∘.$

Следовательно,

1 ∘ ∠A = 2 (2α + β)= 110