Радиус описанной около четырехугольника 
окружности равен 
Найдите площадь этого четырехугольника, если известно, что все его стороны равны.
Рассмотрим картинку:
Докажем, что данный четырехугольник является квадратом.
Т.к. хорды 
и 
равны, то равны дуги 
и 
Следовательно, вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, будут тоже равны:
Таким образом, 
— накрест лежащие при прямых 
и 
и секущей 
, следовательно, 
Аналогичным образом доказывается, что 
Таким образом, 
— параллелограмм. Т.к. он вписанный, то это — прямоугольник. Т.к. все его стороны равны, то это квадрат.
В квадрате центр описанной окружности лежит на пересечении диагоналей, следовательно, 
По свойству квадрата 
Следовательно, площадь
Замечание.
Можно было доказать, что 
— квадрат, другим способом:
по трем сторонам. Следовательно, 
Но т.к. четырехугольник вписанный, то сумма противоположных углов равна 
следовательно, 
Отсюда следует, что 
Аналогично 
По признаку четырехугольник, у которого все углы прямые, является прямоугольником. Но т.к. у него еще и все стороны равны, то это квадрат.